证明：充分性
        设G中无奇圈，不妨设G是连通的，否则可对它的每个连通分支进行讨论。设v
为G中任意一个顶点，令
        V1 = {u | u ∈ V(G) ∧ d(u, v)为偶数}， V2 = {u | u  ∈ V(G) ∧ d(u, v)为奇数}。
则V1 ∩ V2 = Ф 且V1 ∪ V2 = V(G)。下面只要证明，对于任意 e ∈ E(G)，则e的一个端点在V1中，另一
个端点在V2中。若不然，存在边e = (vx, vy)，vx，vy均属于V1，设Γvx，Γvy分别为v到vx和v到
vy的短程线，显然Γvx，Γvy的长度均为偶数。设vz ∈ V(Γvx) ∩  V(Γvy)，且Γzx与Γzy除vz外无公
共顶点，则因Γzx，Γzy的长度依然为偶数，所以Γz∪(vx, vy)∪Γzy为G中一个奇圈，这与G中无奇圈矛盾。

这里对“因Γzx，Γzy的长度依然为偶数”不知是为什么，希望能得到详细的说明，谢谢了！

“那Γzx，Γzy都是偶减偶，Γzx=Γvx - Γvz，Γzy=Γvy - Γvz，所以还是依然为偶嘛”

另外，觉得教材P122的图7.16（P122）中应该在vx正下方那个顶点（下面一行从左向右数第5个顶点）与vy之间加一条线，这样|Γvy|=4，才为偶，不然， Γvx + (vx, vy)才为v与vy之间的短程线，长度为偶，值为奇数。