二、集合论与图论部分（每题10分，共60分）
1、求∪(<0,1>∪<1,2>)，结果中只能包含Φ，{，}三种记号
2、A⊙(B∩C)与(A⊙B)∩(A⊙C)是否具有包含关系,为什么？其中⊙表示关系的合成运算
3、证明N*N=N，其中N表示阿列夫零
4、是否存在4-联通的3正则图，为什么？
5、和第八章课后题类似，关于欧拉回路的，求一个由去10个0或1组成的二进制串，前三位均为0，从左向右依次读，可读出所有的3位二进制串（记不太清楚了）
6、彼得森图是否是3-正则平面哈密顿图，为什么？

三、代数结构部分（每题10分，共30分）
1、若群G除了{e}和G外没有其他的正规子群，G为单群。若f:G1->G2是满同态映射，G1是单群，证明G2也是单群。
2、设A是环，就条件（1）和（2）给出具体的例子
(1)、A为含幺环，B为A的一个子环，B中不含单位元
(2)、A为含幺环，B为A的一个子环且A与B中的单位元不同
3、L为格，若对任意的a,b,c，有a∧(b∨c)=(a∧b) ∨(a∧c)，证明a∨(b∧c)= (a∨b) ∧(a∨c)

re~

离散集合论的第３题，整个图论，和抽象代数的后两个题都考的有些偏，需要全面掌握离散数学才能做出来．去年离散就图论前两个题有些新，但是这两个题的涉及的概念比较老．

呵呵，高手依然能上１３０，但是不会有去年多，我认为今年１２０是高数复试上线分．

还有那个环的做了第一问，第二问实在是没有时间搞了，现在只希望其他没有笔误就心满意足了。

再说专业课确实是郁闷，很多复习的时候就没怎么看仔细（怪自己），太相信真题了。做梦也没想到会考aging算法，当时拿到考题就有些懵，估计专业课惨了……

1、 求不定积分 ∫e^2x（tanx+1）^2 dx
1) 化简并变型得∫e^x(1+sinx)/(1+cosx)dx=∫e^x/(1+cosx)dx+∫e^x(sinx)/(1+cosx)dx
2）对∫e^x(sinx)/(1+cosx)dx 分步积分
∫e^x(sinx)/(1+cosx)dx=e^x(sinx)/(1+cosx)- ∫e^x/(1+cosx)dx+C
从而
∫e^2x（tanx+1）^2 dx=∫e^x/(1+cosx)dx+∫e^x(sinx)/(1+cosx)dx=∫e^x/(1+cosx)dx+ e^x(sinx)/(1+cosx)- ∫e^x/(1+cosx)dx+C= e^x(sinx)/(1+cosx)+C
2、 设f(x)是连续函数，若
∫f(tx)dt（从0到1）=f(x)+xsinx，f(0)=0求f(x)
解：∫f(tx)dt（从0到1）=1/x∫f(tx)d(xt)（从0到1）=1/x∫f(t)dt（从0到x）
从而
1/x∫f(t)dt（从0到x）=f(x)+xsinx
令∫f(t)dt（从0到x）=F(x) ,显然F’(x)=f(x)
原式变为1/x *F(x)=F’(x)+xsinx
(F(x)-xF’(x))/x^2=sinx
<==>(F(x)/x)’=-sinx
<==>F(x)/x=cosx+C
<==>F(x)=Cx+xcosx
<==>f(x)=C+(cosx-xsinx)=cosx-xsinx+C
<==>又f(0)=0<==>f(x)=cosx-xsinx+1
3. 已知0<X1<Y1，Xn+1=√XnYn，Yn+1=(Xn+Yn)/2,证明：
数列{Xn}和{Yn}的极限存在并且相等
很简单，数学归纳法
4.没看懂什么意思，估计题目抄错了
5.求极限lim 1/n(n(n+1)(n+2)……(2n-1))^1/n 当n->∞
lim 1/n(n(n+1)(n+2)……(2n-1))^1/n 当n->∞
<==>每一个因子提出一个n
lim (1(1+1/n)(1+2/n)….(1+(n-1)/n))^n当n->∞
令e^y=(1(1+1/n)(1+2/n)….(1+(n-1)/n))^n
<==>y=(ln1+ln(1+1/n)+…..+ln(1+(n-1)/n))/n
<==>limy当n->∞，恰好是ln(1+x)在0，1上的黎曼和
<==>limy当n->∞等于∫ln(1+x)从0到1
<==>limy当n->∞等于2ln2-1
<==> lim (1(1+1/n)(1+2/n)….(1+(n-1)/n))^n当n->∞等于lim(e^y) 当n->∞，
等于4/e

2.此题用微分方程求解比较简单，但微分方程超纲，因此只能积分求导来回捣鼓
   答案是f(x)=cosx-xsinx-1，你在代入求C时可能把符号弄错了
3.这种一般是根据极限存在的两个准则（单调有界或夹逼）来证，不知道你用数学归纳法怎么证明？
4.此题是简单的幂级数求和，没抄错，试卷上就这么写的
5.正确

这个题的确比较诡异，按照格的对偶原理一步就可得出结论，另外一种证明思路在课件上有。

2.此题用微分方程求解比较简单，但微分方程超纲，因此只能积分求导来回捣鼓
    答案是f(x)=cosx-xsinx-1，你在代入求C时可能把符号弄错了

恩，这个代入时，确实弄反了符号，写快了。

3.这种一般是根据极限存在的两个准则（单调有界或夹逼）来证，不知道你用数学归纳法怎么证明？

先用数学归纳法证明x1<=xn<=yn<=y1,然后采用夹逼定理。

以下是引用datoubaicai在2007-9-22 13:56:00的发言： 代数结构部分的第1题是书上的一个定理的证明。第3题更怪了，根据对偶定理不就一下得结论了？ 这个题的确比较诡异，按照格的对偶原理一步就可得出结论，另外一种证明思路在课件上有。

请区分：“某命题P在 每一个 格上都成立（永真）” 和 “某命题Q在 某一个（给定的） 格L上成立”

对于前者，可以直接用对偶原理得出“该命题P的对偶命题P*也在 每一个 格上都成立（永真）”
对于后者，却不能用对偶原理。

“任意”这个词有多义性，注意对偶原理中说的“任意”是指“所有”、“每一个”的意思，而不是指“某个事先指定的”

以下是引用Chojin在2008-9-2 23:19:00的发言： 但是书上的好多个定理的证明都是在一个格上使用对偶原理的啊 而且对偶原理自身的证明也是在（任意）一个假设的格上的 为什么这个题不能用对偶原理啊，不解。。。