PS:
(1)定理11.5：n(n>=4)阶级大平面图G中，最小度>=3.
证明：由定理11.4（G为n阶(n>=3)简单的连通平面图，G为级大平面图当且仅当G的每个面次数均为3）可知，G的围长g(G)=3，且与任意顶点v相邻的顶点均在某圈C上，由于g（G）=3，所以C的长度大于等于3，而d（v）等于C的长度，所以d（v）>=3，由于v的任意性，可知G的最小度>=3
（2）设G为n（n>=4）阶级大的平面图，证明G的对偶图G*是2-边连通的3-正则图。
（3）设G是2-边连通的简单平面图，且每两个面的边界至多有一条公共边，证明G中至少有两个面的次数相同。

:)

不好意思~

我们知道，K_4是3-边连通的3-正则图。两个K_4的并是不连通的3-正则图。
而下面两个3-正则图的边连通度分别是2和1：

  * ── *
/ \    / \   
*   *  *   *
\ /    \ /
  * ── *

┌ * - * ─ * - * ┐
│ |   |    |   | │
│ * - *    *   * │
│  \ /      \ /  │
└─ *        * ─┘

总之，我们从正则性得不出太多关于边连通度的结论。

（3）对偶图 + 鸽巢原理。就是证明“简单图中必有两个度数相同的顶点”。

2.边连通度>=K就说图是K连通的,并不是你想的边连通度=2,比如说该题连通度=5.图是1边连通的也是2边连通的也是3边连通的...要证明它是2边连通的只要证明删除任一条边还是连通的即可

3.答案
13,设G是2-边连通的简单平面图，且每两个面的边界至多有一条公共边，证明G中至少有
两个面的次数相同。
证明做G的对偶图G*，只要证明G*上至少有2个顶点的度数相同即可。

G是连通图，显然G*也是连通图。

设G*上有n个顶点，这n个顶点的度数只能是1至n-1，根据鸽巢原理，至少有2个
顶点的度数相同。

可能是极大平面图的缘故把，我看书定理11.4的证明图想到的，应该是这样,还没相好怎么证明

希望大家举出反例                            
                                         

没必要在这里纠缠.....

彻底明白了，谢谢！

多谢！

设v为轮图的中心.
(1)先证N(v)中任意点(设为v1)在V(G)-v中至少与一个N(G)-v1中的点是相连通的
假使不然即v1处于一个连通分支上,(v,v1)为G的桥,Deg(R0)>3,矛盾

(2)再证:存在L(v1,v2)=v1.....v2,|L(v1,v2)|>=1,设v2是v1连通的路径最短的一个点.(因此除v1,v2外任何N(v)中的点都不在路径中)C=v1.....v2vv1,则:
(a)不存在N(v)-v1-v2的任意点在C内
(b)不存在V(G)-N(v)-v的任意点
证明(a)
若存在设此点为v3由上知,若存在L(v1,v3)则L(v1,v3)>=2,则有面的次数>=4
若存在L(v2,v3)>=1则在L(v1,v2)并上L(v2,v3)并上v1vv3中必有面次数>=4
所以不含此类点v3
(b)
C是约当曲线,所以该点 不能与C外部的点相连,连L(v1,v2)上的任意点都会存在次数>=4的面
所以C内不存在此类点
还能推出L(v1,v2)=v1v2

(3)对于V(G)-v,N(v)中的任意点(设v1)至多与2个N(v)-v1中的点相连通
证:因为对于v1v1只有逆时顺时两个方向连通2个点,如果有>=3的点与它相连通必然有一个圈位于另一个圈内,与(2)中的(a)矛盾.

(4)定义E*={(u1,u2)|u1,u2为N(v)中点且不同},V=N(G)构成的新图G*,(1)说明G*中的点度数都>=1,(3)说明G*中的点都<=2,
若存在一度点由握手知一度点成对出现.设G*中有n个连通分支,每个连通分支必然是一条路径,在时钟方向上任取2个相邻的连通分支,则P1的首与P2尾在时针方向上相邻(由(2)的证明得出)所以一度点是不存在的所以只有2度点