应徐涵之邀，简单谈谈数理逻辑中的一些基本概念：语法和语义。
本文尽量说的浅显易懂，针对的也是数理逻辑的初学者。如果是在逻辑方面已经有深刻理解的朋友，请直接略过。
我们首先问这样一个问题：逻辑到底研究的是什么？
很多初学者学了很久逻辑，看了无数定理定义证明，但是始终搞不清的问题是：这些定理定义证明到底是做什么用的？为什么要弄出这么一套复杂的理论？它跟我们的生活有什么联系？
很多数学，物理学中的理论，看起来远离生活，其实和生活息息相关，比如学了几何学，可以用来丈量，学了微积分，可以用来解决物理学中的问题。但是逻辑学似乎总是远离生活，它和生活的关系至多只是一些简单的推理规则，比如德摩根律，比如反证法，is that all?
其实远远不是：如果说数学，物理中的诸多理论影响了人们的生活，给人们提供了很多解决实际问题的方法，那么逻辑则会影响人们的思维，逻辑为人们的理性思维提供了工具。
（一）
我们先做一个假设：理性思维是能够被语言所正确表达的。现在我们假定这种语言就是“自然语言”，比如中文，英文。
理性思维必须能被语言正确表达，所谓“词要达意”。你说出的话不能让别人误解，当成别的意思，比如
(a)“I saw John with a telescope on a hill”
这句话可以认为是你在称述一个事实，可惜的是你说的这句话很可能没有表达出你心里想表达的意思，因为它至少可以理解成下面三个句子之一表达的含义：
(a1) “I stood on a hill, used a telescope and saw John.”
(a2)“ I saw that John was standing on a hill and with a telescope. ”
(a3)“ I used a telescope and saw John standing on a hill. ”
类似这种句子，如果在日常生活中经常出现，倒也没有太大问题，因为生活中要处理的多半是简单直观的推理问题，并不会对你说的每句话都如此挑剔。但是如果你用这种类型的句子来表达严格的科学论证，比如证明数学定理，那就麻烦了，不仅别人可能看不明白你想要表达什么意思，也许你自己说着说着，也会陷入迷糊。
所以在科学论证，尤其是数学论证绝对不能出现如此不严密的表达。很不幸的是，这种情况曾经在被认为最为精确的学科数学中，都广泛的存在：比如牛顿甚至不知道无穷小怎么定义，就发明了微积分。
(a) 之所以会被理解成三种含义不同的句子，原因之一是 (a) 可以对应三种不同的语法树。这个和程序设计语言理论中的判断二义语法的道理是一致的：一个语法具有二义性，当且仅当存在一个满足该语法的句子，对应了两个语法树。
因此我们需要使用一种精心设计的语言，这种语言所能表达出的句子，只会对应唯一的语法树。这种语言没有自然语言灵活，甚至表达起来拖沓累赘，表达能力也比较有限，但是它足够精确，没有二义。经典逻辑中的命题逻辑，一阶谓词逻辑都是这样的语言。
翻开任何一本数理逻辑的教科书，首先学到的就是逻辑语言的“语法”，比如命题逻辑公式的语法：首先定义一个在语言中能出现的所有词汇的词汇表（signature），之后归纳定义这个语言中的合法的句子（公式）：
1. 对任意命题p，p是公式
2. 如果F是公式，~F是公式
3. 如果F, G是公式，F&G, F|G, F->G, F<->G也是公式
通过规定逻辑连接词之间的优先级和适当的加入括号，任何一个逻辑公式都只对应唯一的语法树，因此，假如你用命题逻辑语言去说话，那么这句话肯定是无二义的。
使用命题逻辑，如果要表达
“如果明天天晴，我就去学校，或者去公园”
就可以写成命题逻辑公式：
”明天天晴->(我去学校|我去公园)”
可惜命题逻辑能表达的非常有限，比如句子(a)就表达不了。要表达句子(a)，我们需要使用表达能力更强的逻辑，即逻辑语言运行我们谈论“对象”以及“对象间的关系”。假如我们希望 (a)表达的是(a1)的意思，那么(a1)中的对象有 “I”, “hill”, “telescope”, “John”, 对象之间的关系有 stand, use, see，于是我们可以把(a)表达为
(a4) stand(I, hill) & use(I, telescope) & see(I, John)
(a4) 准确的表达了(a1)的含义。所以，假如你在说(1)的时候，不要使用自然语言，而使用一阶逻辑语言，那么就不会被人误会成三种意思了。
所以，逻辑的第一个作用是：为人们提供了一种能无二义的语言。
（二）
在上一节最后，谈到了逻辑能为人们提供准确表达含义的语言。在这里，我们说的“含义准确”，意思是只对应唯一的语法树。
这一节我想谈谈“含义”的另一种“含义”。
在日常生活中，或者在学习数学证明的过程中，我们经常会问这样一个问题：“这句话是什么意思？”比如我说：
(b)“明天如果不下雨，我就去学校”。
这句话有很多种意思。比如，假如我是个经常说谎的人，或者经常违背诺言的人，那么你估计根本不会相信这句话。
假如我是个诚实的人，那么你对这句话的理解可能就不同了。你听了这句话后，就会确定，如果明天，比如2011年10月1号，真的不下雨，那么我就确实会去学校。没错，这是我告诉你的。所以我这句话的意思是：
(b1) 当挂在墙上的日历翻到了2011年10月1号，并且没下雨，那么我就会去学校。
这就是我这句话的“含义”。这里的“含义”和（一）中说的“含义”是不一样的：这里所说的含义跟语法树没有关系，而是跟现实生活中即将要发生的事情有关系。
你可以认为人进行思考总是通过语言，表达自己的思想也是通过语言。语言，写下来是“语”，说出来是“言”，但是无论如何，都是一些抽象的符号，一个没有语病的句子仅仅是一些满足语法规范的字符串。那么人们到底是通过什么方法从 (b) 这样的一个字符串中得到了 (b1) 这样一个在现实生活中发生的事件呢？
从(b)到(b1)实际上做的是一个映射：字符串“明天”被映射到了现实生活中一个切切实实的日子，2011年10月1日，字符串“不下雨”被映射到了天上没落雨点这样一个自然现象，字符串“我”被映射到现实生活中的说话的人，“去学校”被映射到了现实生活中去学校这样的一个动作。这样的一个映射被称为对词语的“解释”。要理解 (b) 的含义，首先做的事情就是对所有的词语做“解释”。解释的方法是把这个词语，根据其自然语言或者上下文的含义，把它与现实生活中的客观对象关联起来。
到这里似乎还差了一点：“如果…就…”这个结构，到底是什么意思？假如一个初学中文的外国人不认识“如果…就…”这个结构，只能看懂 (b) 里的别的词，他还是看不懂这句话的意思。那么，作为一个有丰富中文知识的中国人，我会告诉他，这句话的意思是在客观世界中发生下面三种情况的任何一种：
（b1.1）2011年10月1号没下雨，我去了学校
（b1.2）2011年10月1号下雨了，我去了学校
（b1.3）2011年10月1号下雨了，我没去学校
虽然这个外国人没看懂 (b) 的意思，但是他的中文知识可以看懂 (b1.1), (b1.2), (b1.3)，也就明白了你说 (b)这句话，事实上是说了你的客观行为就是 (b1.1), (b1.2), (b1.3)中的任何一种。
可惜的是，并不是任何一个自然语言中的句子，都能通过找到这样的映射关系来理解它的含义。比如“我所说的话是谎话”，再比如“如果这个世界上有独角兽，那么太阳就会从西边出来”。
而逻辑语言的好处是它有明确的语义。其中最重要的一种语义称为“模型论”语义。模型论语义也可以认为是和上面描述的人解释自然语言句子最为相似的一种语义。
怎样去理解一个命题逻辑公式的含义呢？首先，我们从基本的命题符号开始解释。任何一个命题符号p，都被解释为true或者false，对照上面对自然语言的解释来理解，可以认为任何一个命题表达的含义，要么是客观世界中为真，要么在客观世界中为假。这种对每个命题符号进行解释（真值赋值）得到的这种映射，记做I。有了解释I之后，需要进一步定义 ~, &, |, ->, <->的含义（类似上面定义“如果…就”这个词组的意思）：
1. I(p)=true, then I(~p)=false
2. I(F)=true and I(G)=true, then I(F&G)=true
3. I(F)=true or I(G)=true, then I(F | G)=true
4. I(F)=true implies I(G)=true, then I(F->G)=true
5. I(F)=I(G), then I(F<->G)=true
一个命题逻辑公式F，在给出了所有命题原子的解释I之后，就可以通过1—5 来算出整个公式的真值。如果在I解释下，F的真值为true，就称为I满足F(I|=F)，I被称为F的“模型”，也就是说I这种解释，就是F这个命题公式的“含义”。对比在自然语言中的例子，(b)这句话的含义，就是(b1.1) (b1.2) (b1.3)。
命题逻辑假设任何一个命题都只能表示客观世界中的true或者false，显然是一个太强的假设。在一阶逻辑中，它被扩展到表达客观世界中的“对象”以及对象之间的“关系“，于是命题逻辑的真值映射，在一阶逻辑中变成了定义在集合论上的代数结构。虽然这种解释就变得复杂多了，但是其基本动机和出发点是不变的。
逻辑的语义都是被严格的数学化的定义的，因此，任何一个逻辑公式，都精确的对应了一个客观世界中。这是逻辑语言的第二个作用。
综合（一），（二），如果你用“数理逻辑语言“说了一句话，那么，首先，这句话只有唯一的一种解析方式；其次，这句话精确的对应了客观世界中的某种（或若干种）状态。与自然语言相比，逻辑语言在语法和语义上的精确性，不会因为说话人或者听话人所处的时间，地点，态度，以及谈话的上下文的不同而发生变化。
正是因为自然语言中的种种不尽人意的地方，以及它无时无刻不在影响人们的思维甚至科学研究，数学证明的推理过程，Gottlob Frege (1848-1926) 提出要使用一种严格的逻辑语言来规范数学证明，他称之为“概念演算”，事实上这是含等词的一阶逻辑。这种思想之后演化成了使用经典逻辑严格的重新定义所有的数学概念和分支，这就是二十世纪著名的希尔伯特计划，成就了二十世纪三四十年代数理逻辑的蓬勃发展，甚至成就了计算机科学的诞生。其中众多的划时代的理论成果，就不在本文中一一介绍了。
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2011/11/8 1:03:00
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